Служба оптимизации мобильной связи. Рекомендации по сетевому планированию и оптимизации. Оптимизация сотовой связи
Качество работы систем передачи информации характеризуется совокупностью большого числа показателей, основными из которых являются помехоустойчивость, скорость, пропускная способность, дальность действия, электромагнитная совместимость, масса и габариты аппаратуры, стоимость, экологическая совместимость.
Совокупность показателей качества системы можно записать в виде вектора
Наилучшей (оптимальной) считается такая система которой соответствует наибольшее (наименьшее) значение некоторой функции
от частных показателей качества Величина называется эффективностью или обобщённым показателем качества системы, а функция целевой функцией системы (критерием качества).
Одним из центральных моментов методики оптимального проектирования или сравнения систем является формирование оценок эффективности - целевых функций системы. Такие оценки совершенно необходимы при системных исследованиях, связанных с такими задачами, как выбор лучшей системы из числа существующих, оценка уровня разработки системы по отношению к современным мировым образцам, определение оптимального варианта новой (проектируемой) системы и т.д.
В простейших случаях эффективность систем оценивают по отдельным наиболее существенным параметрам, например по скорости, по ширине полосы частот канала, по отношению сигнала к шуму и т. д.
В общем случае необходим системный подход, при котором эффективность оценивается в целом по совокупности параметров. При этом прежде всего необходимо учесть все наиболее существенные параметры систем. Стремление учесть все параметры, в том числе мелкие и второстепенные, приводит к усложнению целевой функции (критерия качества) и делает труднообозримыми результаты оценки. Вместе с тем чрезмерное ограничение числа учитываемых параметров может привести к тому, что критерий окажется слишком грубым.
Любая оценка эффективности систем производится с целью принятия определённого решения. Так, при проектировании требуется определить совокупность параметров системы, при которых достигается наибольшая эффективность.
Количественная оценка эффективности должна удовлетворять определённым требованиям. Она должна достаточно полно характеризовать систему в целом и иметь ясный физический смысл, обладать необходимой гибкостью и универсальностью. Оценка эффективности системы должны быть
конструктивной - пригодной как для анализа, так и для синтеза систем. Наконец, оценка эффективности должна быть достаточно простой для вычисления и удобной для практического использования. Распространённой является оценка эффективности в виде линейной функции
где число учитываемых параметров (показателей); весовые коэффициенты; - относительные значения учитываемых параметров.
При таком определении параметров, входящих в сумму (11.27), величину можно определить в пределах от 0 до 1. Наилучшей будет та система, для которой величина больше.
Выбор весовых коэффициентов X, в определённой мере является произвольным. То же самое относится и к числу учитываемых параметров Однако доля произвола может быть доведена до минимума путём разработки рациональной методики нахождения этих коэффициентов (например, методики экспертных оценок). Абсолютные значения весов не имеют значения; существенны только относительные веса.
Современные сложные системы связи не всегда могут быть исчерпывающим образом охарактеризованы одним единственным показателем. Оценка по нескольким показателям может быть более полной и вместе с тем более предметной, позволяющей охарактеризовать различные свойства системы. Совершенно очевидно, что большое число показателей неприемлемо. Нужно иметь несколько показателей, характеризующих основные наиболее существенные свойства системы: информационные, технические, экономические и т.п. Во многих случаях достаточно ограничиться двумя показателями, например помехоустойчивостью и скоростью передачи, частотной и энергетической эффективностью, техническим эффектом и затратами.
Окончательное решение, как правило, основывается не только на количественных данных расчёта, но и на опыте, интуиции и других эвристических категориях, а также на дополнительных соображениях, которые не могли быть учтены при построении математической модели.
В общем случае задача оптимизации СПИ сводится к нахождению максимума целевой функции при вариации системы (ее структуры или значений её параметров) с учётом исходных данных и ограничений на структуру и параметры системы.
Если задана целевая функция и определена совокупность допустимых систем (или их вариантов) то оптимизация сводится к задаче дискретного выбора из конечного числа заданных систем, т.е. к выбору системы, которой соответствует наибольшее (наименьшее) из значений
Более сложной задачей является задача оптимизации (синтеза) структуры системы. Если структура системы может быть достаточно полно описана известными функциями с конечным числом параметров, то задача сводится к оптимизации этих параметров. В частном случае, когда целевая функция и все функции, определяющие ограничения, линейно зависят от параметров задача сводится к линейному программированию. В некоторых
случаях удаётся решить задачу аналитически на основании методов функционального анализа.
В общем виде решение задачи оптимизации СПИ может оказаться сложным и мало пригодным для принятия решения. Поэтому обычно прибегают к поэтапной процедуре оптимизации. Сначала, например, осуществляется оптимизация по информационным параметрам, а затем - по технико-экономическим показателям. На первом этапе определяется структурная схема системы, позволяющая оценить её основные потенциальные характеристики, выбрать способы модуляции и кодирования, метод обработки сигнала в приёмнике. Затем определяются алгоритмы функционирования и параметры отдельных блоков системы (модема, кодека канала, кодека источника и т.п.). Завершающим этапом является конструирование системы.
Технико-экономический анализ базируется как минимум на двух показателях: эффекте и затратах . При этом в качестве основных принципов определения эффективности СПИ может быть принцип максимума эффекта или принцип минимума затрат
В качестве затрат обычно принимаются приведённые годовые затраты на единицу продукции (в нашем случае - стоимость передачи одного бита в секунду).
Оптимизация СПИ.
Полезным эффектом (продуктом) в СПИ является количество информации, доставляемое потребителю в единицу времени (скорость передачи) при заданной верности передачи, т.е. средняя скорость передачи по каналу в сети связи при вероятности ошибки Эту скорость принято называть пропускной способностью системы и обозначать в отличие от шен-ноновской пропускной способности канала С. Если С - понятие теоретическое, характеризующее предельные возможности канала, то есть характеристика техническая, зависящая от реальных характеристик и аппаратуры данной системы.
По определению
Здесь количество бит информации, переданное по каналу в сети связи за время где время передачи (длительность) сообщения; время задержки, включая время ожидания; эффективность кодека источника, избыточность сообщения (источника), эффективность канала, вычисленная с учётом корректирующего кода, вида модуляции и потерь в канале, эффективность кодека канала, - эффективность модуляции, эффективность сети.
С учётом выражений (11.4) и (11.28) имеем
где согласно (11.23) и (11.24)
с; - это то реальное количество информации, которое доставляется потребителю в единицу времени при заданном качестве передачи
При оптимизации СПИ выражение (11.29) для можно принять в качестве целевой функции Тогда задача будет состоять в том, чтобы найти такую систему связи, которая доставляет максимум этой функции при заданных условиях и ограничениях. Математически - это задача нелинейного, а в ряде случаев линейного программирования. В некоторых частных случаях задача решается аналитически, как задачи поиска экстремума функционала. В тех случаях, когда требуется обеспечить заданную достаточно высокую величину выбор системы осуществляется путём анализа (сравнения) возможных вариантов, удовлетворяющих заданным требованиям. Необходимая величина С в этих случаях достигается путём компромиссного выбора показателей, входящих в выражение (11.29), с учётом технико-экономических требований.
Задача оптимизации СПИ возникает как при разработке новых, так и при усовершенствовании существующих систем. Во многих случаях она ставится как задача повышения эффективности СПИ. Решение такой задачи не является однозначным. Высокое (или необходимое) значение С согласно (11.29) может быть достигнуто различными путями.
Рассмотрим это на примере системы передачи дискретных сообщений (СПДС). Будем считать, что сеть связи, в которой должна работать рассматриваемая СПДС, известна (задана её эффективность Известен обычно и источник сообщений (задана его избыточность Заданной является и требуемая верность (ошибка) передачи рпоп.
Пропускная способность канала С является информационным ресурсом системы. Он обычно задаётся или выбирается на основе существующих стандартов. Здесь при выборе возможны варианты. Согласно формуле Шеннона величина полностью определяется энергетическим ресурсом и частотным ресурсом Выбор полосы частот канала весьма ограничен и регламентируется международными соглашениями. Что касается энергетического ресурса то он зависит от мощности передатчика и шумовой температуры приёмника, а в радиосистемах и от коэффициента усиления антенн О. где А - постоянный коэффициент. Отсюда следует возможность варьирования величинами для получения необходимого значения С. Так, применение узконаправленных антенн позволяет существенно улучшить энергетику канала при заданных передатчике и приёмнике.
При выбранном значении С и заданных значениях повышение эффективности СПИ сводится к повышению эффективности канала Согласно (11.4) информационная эффективность зависит от энергетической эффективности и удельной скорости у, которые можно рассчитать по формулам (11.8) и (11.9). Тогда для заданной вероятности ошибки и рассчитанной величины энергетики канала по обменным -номограммам (рис. 11.6) можно выбрать вид модуляции и способ кодирования.
Оптимизация любого объекта подразумевает поиск и устранение его «узких мест» с целью повышения эффективности функционирования. Если говорить об оптимизации сетей связи, то сегодня, в условиях серьезной конкуренции на телекоммуникационном рынке, она является необходимым условием успешной работы оператора и получения им конкурентных преимуществ.
Что включает в себя услуга и почему она так важна для каждого оператора? Ответы на эти вопросы мы получили у ведущего системного интегратора Москвы, компании «Современные технологии связи». Рассмотрим их ниже.
Как проводится оптимизация связи
Весь спектр работ можно условно разделить на два крупных этапа: аудит и непосредственно оптимизацию.
На первом этапе проводятся следующие работы (комплексно или выборочно):
- Анализируется качество передачи данных.
- Проверяется частотно-территориальный план.
- Проводятся сравнительные тесты выбранных операторов (бенчмаркинг сетей).
- Анализируется статистика оператора.
- Проводится аудит конфигурации: анализ конструкции, высот, углов наклона, азимутов.
Оптимизация систем связи требует получения большого объема объективной информации о фактическом состоянии сети оператора. Во время полевых исследований используются специально оборудованные автомобили, а также портативные технические средства.
Полученная информация подлежит тщательному анализу с применением высокоточного программного обеспечения.
После составления отчета о состоянии сети системный интегратор формирует перечень рекомендаций по устранению слабых мест. Оператор-заказчик получает полную выкладку имеющихся проблем и способов их решения.
Что дает оператору оптимизация сотовой связи?
Вышеперечисленные работы имеют отношение к технической составляющей сетей. Мы не рассматриваем в статье финансовую оптимизацию, которая нацелена на улучшение финансово-экономических показателей компании и сокращение ее материальных расходов.
Аудит и устранение технических «узких мест» не имеет явной связи с повышением прибыли. В краткосрочной перспективе это, в первую очередь, затраты оператора на оплату услуг подрядчика. Но техническая оптимизация услуг связи позволяет решить более серьезные, часто скрытые, проблемы оператора. Она направлена на:
- Повышение эффективности эксплуатации имеющихся технических ресурсов компании-заказчика.
- Повышение качества предоставляемых услуг конечным потребителям.
Таким образом, планирование модернизации сети и рационализация использования ресурсов приводит к снижению затрат на обслуживание системы. А улучшение качества услуг оператора способствует отстройке от конкурентов и привлечению новых клиентов. В конечном итоге, эти два фактора в совокупности позволяют компании-оператору не только получить дополнительную прибыль, но и достаточно быстро окупить затраты на услуги системного интегратора.
При проектировании сотовой сети мобильной связи должны быть выполнены следующие основные операции : оценка стоимости проектируемой сети; оценка емкости сети; оценка радиопокрытия и расположения элементов сотовой сети; оценка максимально допустимой плотности (степени услуг); оценка количества вызовов; оценка будущего развития сотовой сети. По мнению специалистов фирмы NOKIA, главными этапами процесса планирования сети являются следующие:
1.Сбор информации по следующим разделам:
Правила и законы;
Ключевая информация относительно демографии, уровня доходов, прогноз расширения территории обслуживания, поддержка услуг, маркетинговые исследования и т.д.;
Наличие арендованных линий связи, наличие СВЧ-частот, требования соединений с другими системами;
Номерные, адресные принципы и принципы маршрутизации;
Топографические карты;
Существующая инфраструктура, например, передающие сети и передающая среда.
2.Определение требуемых базовых параметров сети по радиопокрытию и емкости.
Главной проблемой этого этапа планирования является оптимизация сети по критерию стоимость-эффективность. Чтобы реализовать на практике эту задачу, необходимы детальная информация о сотовой сети (рост стоимости этапа плана, защита, имеющаяся в наличии, необходимая информационная инфраструктура), а также формулировка задач сети и требований к ее качеству. Результатом второго этапа является проект топологии интегрированной сети, в котором должны быть показаны различные услуги и требуемая для ее реализации аппаратура. Кроме того, должен быть представлен первоначальный развернутый план реализации сети. Главная цель данного этапа — проиллюстрировать комплексный процесс планирования сотовой сети. Следует отметить также другие виды планирования:
FTP (Fixed Transmission Planning) — планирование фиксированной передачи;
NAP (Network Access Planning) — планирование сетевого доступа;
DCN (Data Communication Network Planning) — планирование сети передачи данных;
INP (Intelligent Network Planning) — планирование интеллектуальной сети;
3G и IP Network Planning — планирование развития сотовой системы третьего поколения (3G), использования сетевых протоколов IP и т.д., что должно быть включено в полный процесс проектирования сотовой сети.
3.Выбор MSC, BSC и мест расположения базовых станций.
4.Съемка местоположения для заданных MSC, BSC и базовых станций, другими словами, оценка мест расположения MSC, BSC и BTS с учетом среды, окружающей эти системы.
5.Детальное планирование сотовой сети. В этот этап входят следующие операции:
Компьютерное проектирование сети и инструменты для создания необходимого радиопокрытия территории;
Анализ помех (соканальных, внешних, шумов);
Частотное планирование;
Планирование СВЧ-каналов;
Документирование и пр.
Фирмой NOKIA подготовлен комплект ТОТЕМ, включающий необходимые инструменты для планирования сотовой сети. Ниже рассматриваются три области в планировании сотовой сети:
SNP (Switching Network Planning) — планирование коммутации сети;
CTNP (Cellular Transmission Network Planning) — планирование сотовой передающей сети;
RNP (Radio Network Planning) — планирование радиосети.
Особенности планирования системы коммутации сети.
В процессе данного этапа планирования должны быть решены следующие задачи:
Путем измерений и учета необходимой емкости сети (среднего времени разговоров, числа handovers, передач коротких сообщений и др.) оценивается объем переключений;
Устанавливается уровень сетевого исполнения в соответствии с заданной коммутационной емкостью сети;
Рассматривается реализация систем коммутации и сигнализации сети;
Отрабатываются правила для маршрутизации, защиты, синхронизации и управления коммутацией;
Определяются матрицы речевого и сигнального трафика;
Оценивается необходимая аппаратура для реализации вышеприведенных задач.
После того, как сотовая сеть размечена (рис. 7.9, 7.10), выполняется детальный план с
Выбранным числом входов (например, схема сети, план маршрутизации, цифровой анализ, детали управления, план нумерации, план загрузки и др.). Кроме того, специалист, планирующий систему коммутации сети, должен, помимо выполнения вышеперечисленных задач, рассмотреть возможный будущий расширенный план сети.
Планирование сети передачи.
При планировании сотовой сети передачи главной проблемой является проработка использования линий связи СВЧ (или волоконно-оптических линий связи) в сети GSM, обеспечивающих, например, взаимодействие между BTS и BSC. Возможны несколько путей планирования:
Установка собственных ретрансляционных линий связи СВЧ (радиорелейных линий связи СВЧ);
Аренда уже существующих радиорелейных линий, вписывающихся по местоположению и условиям устойчивой радиосвязи в разрабатываемую сотовую сеть;
Прокладка волоконно-оптических линий связи.
При выполнении данного пункта планирования сети необходимо учесть проблему соединения и координации больших потоков различной информации. На данном этапе необходимо разработать схему главной передающей сети для доступа BTS и сетевые узлы, что позволит получить четкое изображение сетевых соединений. Это также необходимо для определения требуемой емкости сети.
Как принципы синхронизации, так и шлюзовые и коммутирующие соединения должны быть идентифицированы. При планировании СВЧ-каналов необходимо выбрать высоконадежные широкополосные каналы, позволяющие обеспечить надежную связь между BTS и BSC. Кроме того, в сотовой сети вместо радиорелейных могут быть использованы волоконно-оптические каналы.
Планирование радиосети.
Тип и местоположение BTS зависят от характеристик окружающей среды. В условиях города соты обычно меньше по размерам, чем в сельской местности. Кроме того, объем трафика также влияет на число радиоканалов в обычной соте. Так как в стандарте GSM максимальное теоретическое расстояние от BTS до края макросоты составляет 35 км, то к нему обычно адаптируется способность MS отправлять пакеты, которые должны прибывать в BTS в правильном слоте.
Факторы, ограничивающие размеры сот:
1)с ростом рабочей частоты, то есть с уменьшением рабочей длины волны, размер соты уменьшается (размер соты GSM 900 больше, чем размеры сот для GSM 1800 и 1900);
2)внешние условия: для открытых водных пространств затухание радиосигналов меньше, чем в лесных массивах или в городских условиях.
Таким образом, при планировании радиосети в сотовой системе связи необходимо:
Реализовать выбор радиоканалов путем создания собственных радиорелейных линий СВЧ, либо путем аренды уже существующих, либо прокладывая волоконно-оптические линии связи;
Оформить детальный план сети, включающий результаты по предыдущему пункту, а также результаты измерений и тестирования радиопокрытия территории.
Определение трафика и числа каналов в сотах
Сота является базовым «конструктивным блоком» сети GSM. Одна сота по сути есть географическая область, окружающая одну BTS, при этом размеры соты зависят от следующих факторов:
От окружающей среды;
От числа пользователей;
От диапазона рабочих частот;
От мощностей передатчиков BTS и т.д.
Соты группируются вокруг контроллера базовой станции BSC. Средние размеры соты находятся из ответа на два фундаментальных вопроса: Как велик трафик каналов (ТСН — Traffic CHannel), который должен управлять в пределах соты? Какое множество трафиков каналов необходимо соте? Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо определить объем трафика в соте.
где (к) (вызов/час) — среднее число вызовов в час; (т) — среднее время разговора (час). Количественно трафик не зависит от продолжительности наблюдения. Например, если исследование проводится в течение 15 минут, тогда в формуле для трафика А знаменатель вместо 3600 с, будет равен 900 с.
Рассмотрим численный пример. Пусть в соте реализуется 540 вызовов в час, а средняя продолжительность разговоров составляет 100 с (100/60 = 1,66 мин), тогда объем трафика состоит: 
Если воспользоваться табл. 7.1 (модель Эрланга В) максимальной плотности трафика, то получим: число каналов Nk_c = 20, при вероятности отказа Рв = 5%. Таким образом, в данном случае величина GOS = 5% (Grade Of Service —качество обслуживания), определяемая вероятностью отказа, свидетельствует, что при времени наблюдения, равного 1 часу, 5-ти из 100 вызовов отказано в связи из-за недостатка ресурсов соты, при этом число каналов составит 20. Так как в стандарте GSM каждый радиоканал поддерживает 8 (речевых) каналов, то можно сделать грубую оценку комплектации оборудованием BTS: если использовать в BTS три приемопередатчика (transceivers), то будет обеспечено Nk-c = 3x8 = 24 речевых канала, что больше расчетной величины, равной 20 каналам. Это обеспечивает некоторый запас по объему трафика, так как при Nk_r = 24 и Рь = 5% величина трафика составит Л = 19 Эрл (из табл. 7.1).
Повторное использование частоты.
Каждая подсистема базовых станций BSS имеет ограниченное число выделенных частот. Эти частоты должны быть распределены между каждой сотой, чтобы требуемая емкость сети удовлетворяла различным частям BSS.
Рассмотрим следующий пример. На рис. 7.11 показана сотовая сеть.
Рис. 7.11. Схема сотовой сети.
Рис. 7.12. Пример равномерного радиопокрытия территории при выбранном частотном плане.
Пусть проектировщик сети выбрал кластер порядка 9, то есть число выделенных частот составляет 9 (для BSS). На рис. 7.12 показано кластерное распределение частот с использованием принципа частотного повторения. Следующим этапом является оценка LA (Local Area) — локальной области сети, которую выполняют в соответствии с характеристиками трафика каждой области. Окончательная фаза при планировании фиксированной сети состоит в оценке требуемого трафика и радиосети.
Оптимизация и развитие сети.
Планирование сети, описанное выше, является лишь первой частью длительного процесса улучшения создаваемой сотовой сети. При дальнейшем совершенствовании спроектированной сотовой сети необходимо учитывать следующие факторы.
1.Увеличение числа абонентов требует расширения сети в данном месте и в данный период времени.
2.Учет стоимости сети для любого оператора является конкурентно-образующим параметром на рынке услуг мобильной связи.
3.Емкость сети, с одной стороны, необходимо минимизировать (обеспечивать необходимый трафик), а с другой, она не должна быть малой величиной, так как это ухудшит качество обслуживания (grade of service) абонентов.
То есть существуют противоречивые требования:
Сеть должна обладать высоким качеством и иметь широкое радиопокрытие;
EDGE (Enhanced Date Rates for Global Evolution) — улучшенная передача данных для глобальной эволюции систем связи (384 кбит/с);
SDH (Synchronous Digital Hierarchy) — синхронная цифровая иерархия (использующая волоконно-оптические линии связи между узлами в сотовой сети) и т.д.
Главной причиной внедрения высокоскоростных систем передачи данных является рост числа пользователей и связанный с ним рост трафика и объема разнообразных услуг в системах сотовой мобильной связи.
Поэтому для оптимизации и развития сотовой сети следует:
1)проводить полевые испытания созданной сети (достаточно дорогостоящие), которые позволили бы уточнить не только качество передачи информации, но и аппаратурные проблемы, а также возможности сжатия (gathering) информации, увеличения числа пользователей при неизменной структуре и аппаратном обеспечении сети и т.п.
2)использовать информацию, которая получена в NMS (рис. 7.13), по оценке условий географического радиопокрытия (station тар), по уровню мощности BTS (serving BTS), по уровням излучений соседних станций (neighbor stations) для трех сетевых сообщений.
Данная информация позволяет реализовать управление эксплуатационными характеристиками сети из NMS (управления сетью), получить важную информацию о работоспособности различных частей сотовой сети, что в конечном счете определяет возможные альтернативные решения для оператора сети.
Рис. 7.13. Пример оценки условий географического радиопокрытия, уровня мощности BTS и уровня излучений соседних станций.
АНАЛИЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ СВЯЗИ
1.3 Выбор вида модуляции и расчет характеристик качества передачи
Приложение
ВВЕДЕНИЕ
Жизнь современного общества немыслима без широко разветвленных систем передачи информации. Без нее не смогли бы функционировать промышленность сельское хозяйство, транспорт.
Дальнейшее развитие всех сторон деятельности нашего общество немыслимо без широчайшего внедрения автоматизированных систем управления, важнейшей частью которых является система связи для обмена информацией, а также устройства ее хранения и обработки.
Передача, хранение и обработка информации имеют место не только при использовании технических устройств. Обычный разговор представляет собой обмен информацией. Существует множество всевозможных форм представления и хранения информации, такие как: книги, дискеты, винчестеры и т.д.
Технология передачи информации, возможно в большей степени, чем любые другие технологии, оказывает влияние на формирование структуры мирового сообщества. Последние десятилетие сопровождалось революционными изменениями в сети Интернет и вместе с этим радикальными и зачастую непредсказуемыми переменами в способах ведения бизнеса в мировом масштабе. Отсюда следует вполне закономерный вывод, что без знания основ теории передачи сигналов невозможны создание новых совершенных систем связи и их эксплуатация. Поэтому ее изучение является неотъемлемой частью теоретической подготовки студентов.
Передача сообщение из одного пункта в другой составляет основу теории и техники связи. В курсе «Теория электросвязи» изучают единые методы решения разнообразных задач, возникающих при передаче информации от ее источника до получателя.
1.1 Структурная схема цифровой системы связи
В целом ряде случаев практики возникает проблема передачи непрерывных сообщений дискретным каналом связи. Эта проблема решается при использовании цифровой системы связи. Одной из таких систем есть система передачи непрерывных сообщений методом импульсно-кодовой модуляции (ИКМ) и манипуляции гармоничного носителя. Структурная схема такой системы приведена на рис. 1. Она состоит из источника сообщений (ИС), аналогово-цифрового преобразователя (АЦП), двоичного дискретного канала связи (ДКС), Составной частью которого является непрерывный канал связи (НКС), цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) и получателя сообщений (ПС). Каждая из приведенных частей системы содержит в себе еще целый ряд элементов. Остановимся на них подробнее.
Источник сообщений - это некоторый объект или система, информацию о состоянии или поведении которого необходимо передать на некоторое расстояние. Информация, которая передается от ИС, есть непредвиденной для получателя. Поэтому ее количественную меру в теории электросвязи выражают через статистические (вероятностные) характеристики сообщений (сигналов). Сообщение представляет собой физическую форму представления информации. Часто сообщения подают в виде изменяющегося во времени тока или напряжения, которые отображают переданную информацию.
Рисунок 1.1 – Структурная схема цифровой системы связи
В передатчике (ИС) сообщения сначала фильтруется с целью ограничения его спектра некоторой верхней частотой f В. Это необходимо для эффективного представления отклика ФНЧ x(t) в виде последовательности отсчетов x k = x(kT), k = 0, 1, 2, ..., которые наблюдаются на выходе дискретизатора. Отметим, что фильтрация связана с внесением погрешности e ф (t), что отображает ту часть сообщения, которая ослабляется ФНЧ. Дальше отсчеты {х k } квантуются за уровнем. Процесс квантования связан с нелинейным преобразованием непрерывнозначащих отсчетов {х k } в дискретнозначащие {x k l }, которые также привносят погрешность, которую называют погрешностью (шумом) квантования e кв (t). Квантованые уровни {y k = x k l } потом кодируются двоичным безизбыточным (примитивным) или помехоустойчивым кодом.
Последовательность кодовых комбинаций {b k l } образовывает сигнал ИКМ, который направляется к модулятору - устройству, которое предназначенно для согласования источника сообщений с линией связи. Модулятор формирует линейный сигнал S(t, b i), который представляет собой электрическое или электромагнитное колебания, способное распространяться по линии связи и однозначно связанное с сообщением, которое передается, (в данном случае с сигналом ИКМ). Сигнал S(t, b i) создается в результате дискретной модуляции (манипуляции) - процесса изменения одного или нескольких параметров носителя соответственно сигналу ИКМ. При использовании гармоничного носителя U Н (t) = U m cos(2pf н t+j 0) различают сигналы: амплитудной, частотной и фазовой манипуляций (АМ,ЧМ и ФМ).
Для предотвращения внеполосных излучений в одноканальной связи или при организации многоканального связи, а также для установления нужного отношения сигал/шум на входе приемника линейный сигнал фильтруется и усиливается в выходном каскаде ИС.
Сигнал S(t) с выхода ИС поступает в линию связи, где на него влияет помеха n(t). На входе приемника (Пр) действует смесь z(t) = s(t) + n(t) переданного сигнала и помехи, которая фильтруется во входном каскаде Пр и подается на демодулятор (детектор).
При демодуляции из принятого сигнала выделяют закон изменения информационного параметра, который в нашем случае пропорциональный сигналу ИКМ. При этом для распознавания переданных двоичных сигналов на выход демодулятора подключается решающее устройство (ВП). При передаче двоичных сигналов b i , i = 0, 1 по ДКC наличие помех в НКC приводит к неоднозначных решений (погрешностей) РУ, которая в свою очередь вызывает несоответствие переданных и принятых кодовых комбинаций.
Наконец, для восстановления переданного непрерывного сообщения a(t), т.е. получение его оценки , принятые кодовые комбинации подвергаются декодированию, интерполяции и низкочастотной фильтрации. При этом в декодере по двоичным кодовым комбинациям восстанавливаются L-е уровни , m = 1 … L-1.
Наличие погрешностей в двоичном ДКC приводит к погрешностям передачи в L-м ДКС и возникновение шума передачи e П (t). Совокупное действие погрешности фильтрации, шумов квантования и передачи приводит к неоднозначности между переданным и принятым сообщениями .
1.2 Определение параметров АЦП и ЦАП
Интервал дискретизации по времени Т д выбирается на основе теоремы Котельникова. Обратная к Т д величина - частота дискретизации f д = 1/T д выбирается из условия
f д ≥ 2F m , (1.1)
где F m - максимальная частота первичного сигнала (сообщения).
Увеличение частоты дискретизаций позволяет упростить входной фильтр нижних частот (ФНЧ) АЦП, который ограничивает спектр первичного сигнала, и выходной ФНЧ ЦАП, который восстанавливает непрерывный сигнал по отсчетом. Но увеличение частоты дискретизации приводит к уменьшению продолжительности двоичных символов на выходе АЦП, что требует нежелательного расширения полосы частот канала связи для передачи этих символов. Обычно параметры входного ФНЧ АЦП и выходного ФНЧ ЦАП выбирают одинаковыми.
На рис. 1.2 представлены: S(f) - спектр отсчетов, которые отображаются узкими импульсами, S a (f) - спектр непрерывного сообщения a(t), A(f) - рабочее ослабление ФНЧ.
Для того, чтобы ФНЧ не вносил линейных искажений в непрерывный сигнал, предельные частоты полос пропуска ФНЧ должны удовлетворять условию
f 1 ≥ F m (1.2)
Для того, чтобы исключить наложение спектров S a (f) и S a (f-f Д }, а также обеспечить ослабление востанавливающим ФНЧ составных S a (f-f Д } предельные частоты полос задерживания ФНЧ должны удовлетворять условию
f 2 ≤ (f Д - F m)(1.3)
Рисунок 1.2 - Спектр отсчетов и АЧХ ослабления фильтров АЦП и ЦАП
Чтобы ФНЧ не были слишком сложными, отношение предельных частот выбирают из условия
f 2 / f 1 = 1,3 ... 1,1.(1.4)
После подстановки соотношений (1.2) и (1.3) в (1.4) можно выбрать частоту дискретизации f Д.
В системе цифровой передачи методом ИКМ мощность помехи на выходе ЦАП определяется как
,(1.5)
где - средняя мощность шума квантования;
Средняя мощность шумов ошибок измерения.
(1.6)
Мощность шума квантования выражается через величину шага квантования Dx:
.(1.7)
Шаг квантования зависит от числа уровней квантования N:
Dx = U max / (N-1)(1.8)
Из выражения (1.8) определим минимально возможное число уровней квантования:
(1.9)
Длина двоичного примитивного кода на выходе АЦП есть целое число:
m = log 2 N .(1.10)
Поэтому число уровней квантования Nвыбирается как целая степень числа 2, при котором
N ≥ N m i n .(1.11)
Длительность двоичного символа (бита) на выходе АЦП определяется как
Т б = Т Д / m.(1.12)
Среднее количество информации, передаваемое по каналу связи в единицу времени, - скорость передачи информации H t определим по формуле
,(1.13)
где - скорость передачи отсчетов;
– энтропия.
, (1.14)
где - закон распределения уровня сигнала, - число уровней квантования.
Скорость передачи отсчетов равна частоте дискретизации:
.(1.15)
1.3 Модуляция
Вид модуляции выбираем так, чтобы скорость передачи информации после модуляции была не меньше производительности источника, т.е.
,
где - скорость модуляции,
Число позиций сигнала.
Для АМ, ФМ, ОФМ, КАМ
Полоса пропускания канала.
,
где - число подканалов.
тогда 
,
После определения числа позиций сигнала М рассчитаем вероятности ошибки
Вероятность ошибки при АМ-М:
,
Вероятность ошибки при ФМ-М:
Вероятность ошибки при ОФМ-М:
Вероятность ошибки при КАМ-М:
M = 2 k , k – четное число.
Вероятность ошибки при ОFDМ:
где η – число уровней амплитуды;
M = 2 k , k – четное число.
Выбор метода модуляции осуществляется в соответствии с критерием минимума вероятности ошибки.
1.4 Выбор вида помехоустойчивого кода и определение длины кодовой комбинации
Помехоустойчивое, или избыточное, кодирование применяется для обнаружения и(или) исправления ошибок, возникающих при передаче по дискретному каналу. Отличительное свойство помехоустойчивого кодирования состоит в том, что избыточность источника, образованного выходом кодера, больше, чем избыточность источника на входе кодера. Помехоустойчивое кодирование используется в различных системах связи, при хранении и передаче данных в сетях ЭВМ, в бытовой и профессиональной аудио- и видеотехнике, основанной на цифровой записи.
Если экономное кодирование сокращает избыточность источника сообщений, то помехоустойчивое кодирование, напротив, состоит в целенаправленном введении избыточности для того, чтобы появилась возможность обнаруживать и(или) исправлять ошибки, возникающие при передаче по каналу связи.
n=m+k – длина кодовой комбинации;
m – число информационных символов(разрядов);
k – число проверочных символов (разрядов);
Особую важность для характеристики корректирующих свойств кода имеет минимальное кодовое расстояние d min , определяемое при попарном сравнении всех кодовых комбинаций, которое называют расстоянием Хемминга.
В безизбыточном коде все комбинации являются разрешёнными, и, следовательно, его минимальное кодовое расстояние равно единице - d min = 1. Поэтому достаточно исказиться одному символу, чтобы вместо переданной комбинации была принята другая разрешённая комбинация. Чтобы код обладал корректирующими свойствами, необходимо ввести в него некоторую избыточность, которая обеспечивала бы минимальное расстояние между любыми двумя разрешёнными комбинациями не менее двух - d min > 2.
Минимальное кодовое расстояние является важнейшей характеристикой помехоустойчивых кодов, указывающей на гарантируемое число обнаруживаемых или исправляемых заданным кодом ошибок.
При применении двоичных кодов учитывают только дискретные искажения, при которых единица переходит в нуль (1 → 0) или нуль переходит в единицу (0 → 1). Переход 1 → 0 или 0 → 1 только в одном элементе кодовой комбинации называют единичной ошибкой (единичным искажением). В общем случае под кратностью ошибки подразумевают число позиций кодовой комбинации, на которых под действием помехи одни символы оказались заменёнными на другие. Возможны двукратные (t = 2) и многократные (t > 2) искажения элементов в кодовой комбинации в пределах 0 < t < n.
Минимальное кодовое расстояние является основным параметром, характеризующим корректирующие способности данного кода. Если код используется только для обнаружения ошибок кратностью t 0 , то необходимо и достаточно, чтобы минимальное кодовое расстояние было равно
d min > t 0 + 1.(1.29)
В этом случае никакая комбинация из t 0 ошибок не может перевести одну разрешённую кодовую комбинацию в другую разрешённую. Таким образом, условие обнаружения всех ошибок кратностью t 0 можно записать в виде:
t 0 ≤ d min - 1.(1.30)
Чтобы можно было исправить все ошибки кратностью t и и менее, необходимо иметь минимальное расстояние, удовлетворяющее условию:
В этом случае любая кодовая комбинация с числом ошибок t и отличается от каждой разрешённой комбинации не менее чем в t и + 1 позициях. Если условие (1.31) не выполнено, возможен случай, когда ошибки кратности t исказят переданную комбинацию так, что она станет ближе к одной из разрешённых комбинаций, чем к переданной или даже перейдёт в другую разрешённую комбинацию. В соответствии с этим, условие исправления всех ошибок кратностью не более t и можно записать в виде:
t и ≤ (d min - 1) / 2 .(1.32)
Из (1.29) и (1.31) следует, что если код исправляет все ошибки кратностью t и, то число ошибок, которые он может обнаружить, равно t 0 = 2∙t и. Следует отметить, что соотношения (1.29) и (1.31) устанавливают лишь гарантированное минимальное число обнаруживаемых или исправляемых ошибок при заданном d min и не ограничивают возможность обнаружения ошибок большей кратности. Например, простейший код с проверкой на чётность с d mi n = 2 позволяет обнаруживать не только одиночные ошибки, но и любое нечётное число ошибок в пределах t 0 < n.
Длина кодовой комбинации n должна быть выбрана таким образом, чтобы обеспечить наибольшую пропускную способность канала связи. При использовании корректирующего кода кодовая комбинация содержит n разрядов, из которых mразрядов являются информационными, а k разрядов – проверочными.
Избыточностью корректирующего кода называют величину
,(1.33)
откуда следует
.(1.34)
Эта величина показывает, какую часть общего числа символов кодовой комбинации составляют информационные символы. В теории кодирования величину B m называют относительной скоростью кода. Если производительность источника информации равна H t символов в секунду, то скорость передачи после кодирования этой информации окажется равной
поскольку в закодированной последовательности из каждых n символов только m символов являются информационными.
Если в системе связи используются двоичные сигналы (сигналы типа "1" и "0") и каждый единичный элемент несет не более одного бита информации, то между скоростью передачи информации и скоростью модуляции существует соотношение
где V - скорость передачи информации, бит/с; B - скорость модуляции, Бод.
Очевидно, что чем меньше k, тем больше отношение m/n приближается к 1, тем меньше отличается V от B, т.е. тем выше пропускная способность системы связи.
Извеcтно также, что для циклических кодов с минимальным кодовым расстоянием d min = 3 справедливо соотношение
k³log 2 (n+1).(1.37)
Видно, что чем больше n , тем ближе отношение m/n к 1. Так, например, при n = 7, k = 3, m = 4, m/n=0,571; при n = 255, k = 8, m = 247, m/n = 0,964; при n = 1023, k = 10, m = 1013, m/n = 0,990.
Приведенное утверждение справедливо и для больших d min , хотя точных соотношений для связей между m и n нет. Существуют только верхние и нижние оценки, которые устанавливают связь между максимально возможным минимальным расстоянием корректирующего кода и его избыточностью.
Так, граница Плоткина даёт верхнюю границу кодового расстояния d mi n при заданном числе разрядов n в кодовой комбинации и числе информационных разрядов m, и для двоичных кодов:
(1.38)
При 
.(1.39)
Верхняя граница Хемминга устанавливает максимально возможное число разрешённых кодовых комбинаций (2 m) любого помехоустойчивого кода при заданных значениях n и d min:
,(1.40)
где - число сочетаний из n элементов по i элементам.
Отсюда можно получить выражение для оценки числа проверочных символов:
.(1.41)
Для значений (d min /n) ≤ 0,3 разница между границей Хемминга и границей Плоткина сравнительно невелика.
Граница Варшамова-Гильберта для больших значений n определяет нижнюю границу для числа проверочных разрядов, необходимого для обеспечения заданного кодового расстояния:
Все приведенные выше оценки дают представление о верхней границе числа d min при фиксированных значениях n и m или оценку снизу числа проверочных символов k при заданных m и d min .
Из изложенного можно сделать вывод, что с точки зрения внесения постоянной избыточности в кодовую комбинацию выгодно выбирать длинные кодовые комбинации, так как с увеличением n относительная пропускная способность
R = V/B = m/n(1.43)
увеличивается, стремясь к пределу, равному 1.
В реальных каналах связи действуют помехи, приводящие к появлению ошибок в кодовых комбинациях. При обнаружении ошибки декодирующим устройством в системах с РОС производится переспрос группы кодовых комбинаций. Во время переспроса полезная информация не передается, поэтому скорость передачи информации уменьшается.
Можно показать, что в этом случае
,(1.44)
где P oo - вероятность обнаружения ошибки декодером (вероятность переспроса):
;(1.45)
Р пп - вероятность правильного приема (безошибочного приема) кодовой комбинации ;
М - емкость накопителя передатчика в числе кодовых комбинаций
,(1.46)
где t p - время распространения сигнала по каналу связи, с;
t к – время передачи кодовой комбинации из n разрядов, с.
Знак < > означает, что при расчете М следует брать большее ближайшее целое значение.
Время распространения сигнала по каналу связи и время передачи кодовой комбинации рассчитываются в соответствии с выражениями
где L - расстояние между оконечными станциями, км;
с - скорость распространения сигнала по каналу связи, км / с (с = 3х10 5);
В - скорость модуляции, Бод.
При наличии ошибок в канале связи величина R является функцией Р 0 , n, k, В, L, с. Следовательно, существует оптимальное n (при заданных Р 0 , В, L, с), при котором относительная пропускная способность будет максимальной.
Для вычисления оптимальных величин n, k, m удобнее всего воспользоваться программным пакетом математического моделирования, таким как MathLab или MathCAD, построив в нем график зависимости R(n). Оптимальное значение будет в том случае, когда R(n) – максимально. При определении величин n, k, m необходимо также обеспечить выполнение условия:
где - эквивалентная вероятность ошибки приема единичного разряда при применении помехоустойчивого кодирования с РОС.
Величину можно определить воспользовавшись соотношением, что при передаче без применения помехоустойчивого кодирования вероятность ошибочной регистрации кодовой комбинации Р 0кк длины n равна
.(1.48)
В тоже время при применении помехоустойчивого кодирования
,(1.49)
где - вероятность необнаруженных ошибок
;(1.50)
Вероятность обнаруженных ошибок
.(1.51)
Дополнительно к выполнению условия (1.47) необходимо обеспечить
V ³ H t . (1.52)
Из казанного выше следует, что процесс поиска значений В, n, m, k является итерационным и его удобнее всего оформить в виде таблицы, образец которой приведен в табл. 1.2
Таблица 1.2
| Ht = , Pдоп = . | ||||||
| to | n | m | K | В | V | |
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| … | ||||||
Для обнаружения ошибок выбираем циклический код. Из всех известных помехоустойчивых кодов циклические коды являются наиболее простыми и эффективными. Эти коды могут быть использованы как для обнаружения и исправления независимых ошибок, так и, в особенности, для обнаружения и исправления серийных ошибок. Основное их свойство состоит в том, что каждая кодовая комбинация может быть получена путём циклической перестановкой символов комбинаций, принадлежащей этому же коду.
Циклические коды значительно упрощают описание линейного кода, поскольку для них вместо задания элементов двоичной матрицы Ρ требуется задать (n-k+1) двоичных коэффициентов многочлена g(D). Кроме того, они упрощают процедуру кодирования и декодирования для обнаружения ошибок. Действительно, для осуществления кодирования достаточно выполнить перемножение полиномов, что реализуется с помощью линейного регистра, содержащего k ячеек памяти и имеющего обратные связи, соответствующие многочлену h(D) .
Циклический код гарантированно обнаруживает ошибки кратностью и исправляет . Поэтому в системах с решающей обратной связью применяется кодирование циклическим кодом.
При обнаружении ошибки на приемной стороне по обратному каналу связи посылается запрос на блок, в котором она была обнаружена, и тогда этот блок передаётся повторно. Так продолжается до тех пор, пока данный блок не будет принят без обнаруженной ошибки. Такая система называется системой с решающей обратной связью (РОС), поскольку решение о приёме блока или о его повторной передаче производится на приёмной стороне. Система с РОС являются эффективным способом повышения помехоустойчивости передачи информации.
При описании процедуры кодирования и декодирования циклическим кодом удобно использовать математический аппарат, основанный на сопоставлении множества кодовых слов с множеством степенных полиномов. Этот аппарат позволяет выявить для циклического кода более простые операции кодирования и декодирования.
Среди всех полиномов, соответствующих кодовым словам циклического кода, имеется ненулевой полином P(x) наименьшей степени. Этот полином полностью определяет соответствующий код и поэтому называется порождающим.
Степень порождающего полинома P(x) равна n - m, свободный член всегда равен единице.
Порождающий полином является делителем всех полиномов, соответствующих кодовым словам циклического кода.
Нулевая комбинация обязательно принадлежит любому линейному циклическому коду и может быть записана как (x n Å 1) mod (x n Å 1) = 0. Следовательно, порождающий полином Р(x) должен быть делителем бинома x n Å 1.
Это даёт конструктивную возможности построения циклического кода заданной длины n: любой полином, являющийся делителем бинома x n Å 1, можно использовать в качестве порождающего.
При построении циклических кодов, пользуются таблицами разложения биномов x n Å 1 на неприводимые полиномы, т.е. полиномы, которые нельзя представить в виде произведения двух других полиномов (см. приложение А).
Любой неприводимый полином, входящий в разложение бинома x n Å 1, а также любое произведение неприводимых полиномов может быть выбрано в качестве порождающего полинома, что дает соответствующий циклический код.
Для построения систематического циклического кода используется следующее правило построения кодовых слов
где R(x) – остаток от деления m(x)×x n - m на Р(x).
Степень R(x), очевидно, меньше (n - m), а потому в кодовом слове первые m, символов будут совпадать с информационными, а последние n - m символов будут проверочными.
В основу процедуры декодирования циклических кодов может быть положено свойство их делимости без остатка на порождающий полином Р(x).
В режиме обнаружения ошибок, если принятая последовательность делится без остатка на Р(x), делается вывод, что ошибки нет или она не обнаруживается. В противном случае комбинация бракуется.
В режиме исправления ошибок декодер вычисляет остаток R(x) от деления принятой последовательности F¢(x) на P(x). Этот остаток называют синдромом. Принятый полином F¢(x) представляет собой сумму по модулю два переданного слова F(x) и вектора ошибок E ош (x):
Тогда синдром S(x) = F¢(x) modP(x), так как по определению циклического кода F(x) mod P(x) = 0. Определенному синдрому S(x) может быть поставлен в соответствие определенный вектор ошибок E ош (x). Тогда переданное слово F(x) находят, складывая .
Однако один и тот же синдром может соответствовать 2 m различным векторам ошибок. Положим, синдром S 1 (x) соответствует вектору ошибок E 1 (x). Но и все векторы ошибок, равные сумме E 1 (x) Å F(x), где F(x) любое кодовое слово, будут давать тот же синдром. Поэтому, поставив в соответствие синдрому S 1 (x) вектор ошибок E 1 (x), мы будем осуществлять правильное декодирование в случае, когда действительно вектор ошибок равен E 1 (x), во всех остальных 2 m - 1 случаях декодирование будет ошибочным.
Для уменьшения вероятности ошибки декодирования из всех возможных векторов ошибок, дающих один и тот же синдром, следует выбирать в качестве исправляемого наиболее вероятный в заданном канале.
Например, для ДСК, в котором вероятность P 0 ошибочного приёма двоичного символа много меньше вероятности (1 - P 0) правильного приема, вероятность появления векторов ошибок уменьшается с увеличением их веса i. В этом случае следует исправлять в первую очередь вектор ошибок меньшего веса.
Если кодом могут быть исправлены только все векторы ошибок веса i и меньше, то любой вектор ошибки веса от i + 1 до n, будет приводить к ошибочному декодированию.
Вероятность ошибочного декодирования будет равна вероятности P n (>i) появления векторов ошибок веса i + 1 и больше в заданном канале. Для ДСК эта вероятность будет равна
.
Общее число различных векторов ошибок, которые может исправлять циклический код, равно числу ненулевых синдромов – 2 n - m - 1.
В курсовом проекте необходимо на основании вычисленного в предыдущем пункте значения k выбрать образующий полином по таблице приведенной в приложении А. По выбранному образующему полиному необходимо разработать схему кодера и декодера для случая обнаружения ошибки.
1.5 Показатели эффективности цифровой системы связи
Цифровые системы связи характеризуются качественными показателями, одним из которых является верности (правильность) передачи.
Для оценки эффективности системы связи вводят коэффициент использования канала связи за мощностью (энергетическая эффективность) и коэффициент использования канала по полосе частот (частотная эффективность):
где V – скорость передачи информации;
Отношения сигнал/шум на входе демодулятора
; (1.55)
Ширина полосы частот, которую занимает сигнал
, (1.56)
где М – число позиций сигнала.
Обобщенной характеристикой есть коэффициент использования канала по пропускной способности (информационная эффективность):
Для непрерывного канала связи с учетом формулы Шеннона
получаем следующее выражение
. (1.58)
Соответственно теоремам Шеннона при h=1 можно получить зависимость между b и g:
b=g/(2 g - 1), (1.59)
которая имеет название границы Шеннона, что отображает наилучший обмен между b и g в непрерывном канале. Эту зависимость удобно изобразить в виде кривой на плоскости b - g (рис.1.6).
Рисунок 1.6 - Граница Шеннона
Эффективность системы может быть повышена за счет увеличения скорости передачи информации (повышать энтропию сообщений). Энтропия сообщений зависит от закона распределения вероятностей. Следовательно, для повышения эффективности необходимо осуществить перераспределение плотностей элементов сообщения.
Если устранить или ослабить взаимосвязь между элементами сообщений, то также можно добиться повышения эффективности систем.
Наконец, повышения эффективности систем можно получить за счет соответствующего выбора кодирования, обеспечивающего экономию во времени при передачи сообщений.
В курсовом проекте необходимо на построенном графике (рис.1.6) отметить точкой эффективность проектируемой цифровой системы связи.
1. Методические указания к курсовому проектированию по дисциплине «Теорія електричного зв’язку»Бидный Ю.М., Золотарев В.А., Омельченко А.В. - Харьков: ХНУРЭ, 2008.
2. Омельченко В.А, Санников В.Г. Теория электрической связи. Ч. 1, 2, 3. - К.: ИСДО, 2001.
3. Теория электрической связи: Учебник для вузов / А.Г.Зюко. Д.Д.Кловский, В.И.Коржик, М.В.Назаров; Под ред. Д.Д.Клоковского. – М.: Радио и связь. 1998.
4. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки / Пер, с англ. под ред. Р.Л.Добрушина и С.И.Самойленко. - М-: Мир, 1999. - 596 с.
5. Андреев B.C. Теория нелинейных электрических цепей. Учеб. пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 1999. - 280 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица неприводимых порождающих полиномов степени m
Степень m = 7 x 7 + x 4 + x 3 + x 2 + 1 x 7 + x 3 +x 2 + x + 1 |
Степень m = 13 x 13 + x 4 + x 3 + x + 1 x 13 + x 12 + x 6 +x 5 + x 4 + x 3 + 1 x 13 + x 12 + x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + 1 |
Степень m = 8 x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 x 8 + x 5 + x 4 + x 3 + 1 x 8 + x 7 + x 5 + x +1 |
Степень m = 14 x 14 + x 8 + x 6 + x + 1 x 14 + x 10 + x 6 + 1 x 14 + x 12 + x 6 + x 5 + x 3 + x + 1 |
Степень m = 9 x 9 + x 4 +x 2 + x + 1 x 9 + x 5 + x 3 + x 2 + 1 x 9 + x 6 + x 3 + x + 1 |
Степень m = 15 x 15 + x 10 + x 5 + x + 1 x 15 + x 11 + x 7 + x 6 + x 2 + x + 1 x 15 + x 12 + x 3 + x + 1 |
Степень m = 10 x 10 + x 3 + 1 x 10 +x 4 +x 3 + x + 1 x 10 +x 8 +x з +x 2 + 1 |
Степень m = 16 x 16 + x 12 + x 3 + x + 1 x 16 + x 13 + x 12 + x 11 + x 7 + x 6 + x 3 + x + 1 x 16 + x 15 + x 11 + x 10 + x 9 + x 6 + x 2 + x + 1 |
Степень m = 11 x 11 + x 2 + 1 x 11 + x 7 + x 3 + x 2 + 1 x 11 + x 8 + x 5 + x 2 + 1 |
Степень m = 17 x 17 + x 3 + x 2 + x + 1 x 17 + x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + x 3 + 1 x 17 + x 12 + x 6 + x 3 + x 2 + x + 1 |
Степень m = 12 x 12 + x 4 + x + 1 x 12 + x 9 + x 3 + x 2 + 1 x 12 + x 11 + x 6 + x 4 + x 2 + x+1 |