Dependența temperaturii de timp 1550. Problemă elementului de încălzire

05.03.2020

Să ne uităm la următoarele 8 probleme B12 de la Examenul de stat unificat la matematică. Există 2 subiecte aici: temperatura dispozitivului și eficiența motorului termic. Pentru varietate, unele dintre problemele în care apar ecuații pătratice vor fi rezolvate prin discriminant (vezi lecția „Rezolvarea ecuațiilor pătratice”), iar unele - prin formulele lui Vieta (vezi lecția „Teorema lui Vieta”).

Sarcină. Dependența temperaturii (în grade Kelvin) de timp (în minute) pentru elementul de încălzire al unui anumit dispozitiv a fost obținută experimental și pe intervalul de temperatură studiat este dată de expresia T ( t) = T 0 + la + bt 2, unde T 0 = 340 K, a = 28 K/min, b = −0,2 K/min. Se știe că la temperaturi peste 1000 K dispozitivul se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Determinați (în minute) cel mai lung timp după începerea lucrului în care dispozitivul trebuie oprit.

Totul se învârte în jurul temperaturii, care se modifică conform legii: T (t) = T 0 + at + bt 2. Trebuie să aflăm în ce punct va trece această temperatură de 1000 K Deoarece temperatura T 0, precum și coeficienții a și b, ne sunt cunoscuți, vom compune și vom rezolva ecuația:

1000 = 340 + 28t − 0,2t 2 ;
0,2t 2 −28t + 660 = 0 - a mutat toți termenii la stânga;
t 2 − 140t + 3300 = 0 - înmulțiți ambele părți cu 5.

Discriminant: D = 140 2 − 4 1 3300 = 6400 = 64 100. Evident, rădăcina discriminantului este 80. Rădăcinile ecuației pătratice sunt:
t1 = (140 + 80): 2 = 110;
t 2 = (140 − 80) : 2 = 30.

Se pare că avem doi candidați pentru răspuns: numerele 110 și 30. Trebuie să găsim cel mai lung timp, și de aceea mulți oameni aleg răspunsul 110.

Dar să ne amintim ce înseamnă aceste numere. Deci, la momentul t = 30 de minute, precum și la momentul t = 110 minute, temperatura trece de marcajul critic de 1000 K - același după care dispozitivul se poate deteriora. În linii mari, dispozitivul se va deteriora după 30 de minute și după 110 de minute.

Concluzie: dispozitivul trebuie oprit după 30 de minute, deoarece până la 110 minute va fi deteriorat de mult.

Sarcină. Dependența temperaturii (în grade Kelvin) de timp (în minute) pentru elementul de încălzire al unui dispozitiv a fost obținută experimental și în intervalul de temperatură studiat este dată de expresia T (t) = T 0 + at + bt 2, unde T 0 = 520 K, a = 22 K/min, b = −0,2 K/min. Se știe că la temperaturi peste 1000 K dispozitivul se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Determinați (în minute) cel mai lung timp după începerea lucrului în care dispozitivul trebuie oprit.

Sarcina este complet similară cu cea anterioară - doar coeficienții sunt diferiți. Cunoaștem temperatura maximă admisă, așa că vom compune și vom rezolva ecuația:

1000 = 520 + 22t − 0,2t 2 ;
0,2t 2 − 22t + 480 = 0 - a adunat totul din stânga;
t 2 − 110t + 2400 = 0 - înmulțiți ambele părți cu 5.

Problema a fost redusă la ecuația pătratică redusă. Conform teoremei lui Vieta:
t 1 + t 2 = −(−110) = 110;
t 1 · t 2 = 2400.

Evident, rădăcinile sunt: 80 și 30, pentru că 80 + 30 = 110; 80 · 30 = 2400. Constatăm că temperatura maximă va fi atinsă după 30 de minute și după 80. Prin urmare, aparatul trebuie oprit după 30 de minute.

Sarcină. Dependența temperaturii (în grade Kelvin) de timp (în minute) pentru elementul de încălzire al unui dispozitiv a fost obținută experimental și în intervalul de temperatură studiat este dată de expresia T (t) = T 0 + at + bt 2, unde T 0 = 800 K, a = 52 K/min, b = −0,4 K/min. Se știe că la temperaturi peste 2000 K dispozitivul se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Determinați (în minute) cel mai lung timp după începerea lucrului în care dispozitivul trebuie oprit.

Problema este similară cu cea anterioară, așa că să ne uităm la o soluție scurtă. Tocmai această cantitate de calcule va fi o justificare suficientă pentru răspunsul la acest examen de stat unificat la matematică.

2000 = 800 + 52t − 0,4t 2 ;
0,4t 2 − 52t + 1200 = 0;
t 2 − 130t + 3000 = 0 - împărțit totul la un factor de 0,4.

Rezolvăm prin discriminant: D = 130 2 − 4 1 3000 = 4900. Rădăcina discriminantului: 70. Aflați rădăcinile ecuației:
t1 = (130 + 70): 2 = 100;
t 2 = (130 − 70) : 2 = 30.

Dintre cele două numere, alegeți cel mai mic - acesta este din nou numărul 30.

Sarcină. Dependența temperaturii (în grade Kelvin) de timp (în minute) pentru elementul de încălzire al unui anumit dispozitiv a fost obținută experimental și pe intervalul de temperatură studiat este dată de expresia T (t) = T 0 + at + bt 2 , unde T 0 = 280 K, a = 26 K/min, b = −0,2 K/min. Se știe că la temperaturi peste 1000 K dispozitivul se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Determinați (în minute) cel mai lung timp după începerea lucrului în care dispozitivul trebuie oprit.

Totul este la fel - compunem și rezolvăm ecuația:

1000 = 280 + 26t − 0,2t 2 ;
0,2t 2 − 26t + 720 = 0 - a mutat toți termenii într-o parte;
t 2 − 130t + 3600 = 0 - înmulțiți fiecare termen cu 5.

Aceasta este o ecuație pătratică redusă care poate fi rezolvată bine folosind teorema lui Vieta:
t 1 + t 2 = −(−130) = 130 = 90 + 40;
t 1 · t 2 = 3600 = 90 · 40.

Din formulele date este evident că rădăcinile sunt 90 și 40. Ca și înainte, va trebui să alegeți cea mai mică rădăcină - numărul 40. Deoarece dispozitivul nu va „trăi” până la 90 de minute.

Sarcină. Dependența temperaturii (în grade Kelvin) de timp (în minute) pentru elementul de încălzire al unui dispozitiv a fost obținută experimental și în intervalul de temperatură studiat este dată de expresia T (t) = T 0 + at + bt 2, unde T 0 = 1100 K, a = 36 K/min, b = −0,2 K/min. Se știe că la temperaturi peste 2000 K dispozitivul se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Determinați (în minute) cel mai lung timp după începerea lucrului în care dispozitivul trebuie oprit.

Din nou problema clonelor, care se reduce la ecuație:

2000 = 1100 + 36t − 0,2t 2 ;
0,2t 2 − 36t + 900 = 0;
t 2 − 180t + 4500 = 0.

Aici avem din nou ecuația. Conform teoremei lui Vieta:
t 1 + t 2 = −(−180) = 180 = 150 + 30;
t 1 t 2 = 4500 = 150 30.

Acum rădăcinile sunt evidente - acestea sunt numerele 150 și 30. Răspunsul va fi cel mai mic număr, adică. Dispozitivul trebuie oprit după 30 de minute.

La ce temperatură minimă a încălzitorului T 1 va fi randamentul acestui motor de cel puțin 60% dacă temperatura frigiderului T 2 = 200? Dați răspunsul în grade Kelvin.

Mai întâi, să simplificăm formula originală. Înmulțind ambele părți ale egalității cu variabila T 1, obținem:
η T 1 = (T 1 − T 2) 100.

Am eliminat în mod special semnul procentului, deoarece în ecuația finală nu pot exista procente - există doar numere. În funcție de condițiile problemei, cunoaștem randamentul η = 60% și temperatura frigiderului T 1 = 200. Înlocuiți aceste numere în formulă - obținem ecuația:
60 · T 1 = (T 1 − 200) · 100.

Vă rugăm să rețineți: unitățile de măsură din nou nu sunt scrise. Fără procente, fără Kelvin - doar numere obișnuite. În principiu, același lucru ar trebui făcut în toate problemele B12. Doar că nu ne-am concentrat pe acest punct până acum, dar trebuie să lucrăm cu procente cu atenție.

Deci, rezolvăm ecuația:
60 · T 1 = (T 1 − 200) · 100;
60T 1 = 100T 1 − 20 000 - a deschis parantezele;
60T 1 − 100T 1 = −20 000 - a colectat toți termenii cu T 1 în stânga;
−40T 1 = −20.000;
T 1 = 500 - împărțit totul la −40.

După cum puteți vedea, problema a fost redusă la o ecuație liniară simplă care are o rădăcină. Acest lucru este foarte bun, deoarece, spre deosebire de ecuațiile pătratice, aici nu trebuie să vă gândiți la ce rădăcină să scrieți ca răspuns.

Sarcină. Eficiența unui anumit motor este determinată de formula:

La ce temperatură minimă a încălzitorului T 1 va fi randamentul acestui motor de cel puțin 60% dacă temperatura frigiderului T 2 = 400? Dați răspunsul în grade Kelvin.

Sarcina este complet similară cu cea anterioară. Să transformăm formula originală și apoi să înlocuim variabilele cunoscute în ea:

η · T 1 = (T 1 − T 2) · 100 - a convertit formula;
60 · T 1 = (T 1 − 400) · 100 - numere substituite;
60T 1 − 100T 1 = −40 000 - grupează termenii care conţin variabila T 1;
−40T 1 = −40.000;
T 1 = 1000 - împărțit ambele părți la un factor de −40.

Sarcină. Eficiența unui anumit motor este determinată de formula:

La ce temperatură minimă a încălzitorului T 1 va fi randamentul acestui motor mai mare de 80% dacă temperatura frigiderului T 2 = 100? Dați răspunsul în grade Kelvin.

O altă sarcină de clonare. Permiteți-mi să vă dau doar o scurtă soluție:

η · T 1 = (T 1 − T 2) · 100 - formula convertită;
80 · T 1 = (T 1 − 100) · 100 - numere substituite;
80T 1 − 100T 1 = −10.000;
−20T 1 = −10.000;
T 1 = 500 este răspunsul.

Dependența temperaturii (în grade Kelvin) de timp pentru elementul de încălzire al unui anumit dispozitiv a fost obținută experimental. Pe intervalul studiat, temperatura se calculează folosind formula , unde este timpul în minute, , K/min 2 , K/min. Se știe că dacă temperatura încălzitorului depășește K, dispozitivul se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Stabiliți cel mai lung timp după începerea lucrului în care trebuie să opriți dispozitivul. Exprimați-vă răspunsul în câteva minute.

Rezolvarea problemei

Această lecție discută soluția la problema determinării timpului maxim după care este necesar să opriți dispozitivul, astfel încât să nu se deterioreze. Trebuie menționat că soluția la această problemă poate fi folosită ca pregătire pentru Examenul de stat unificat la matematică.

În timpul soluției, se utilizează formula pentru dependența temperaturii de timp pentru elementul de încălzire al unui anumit dispozitiv: , unde este timpul în minute din momentul pornirii. În funcție de condițiile problemei, se cunoaște temperatura peste care dispozitivul se poate deteriora. Pentru a rezolva problema, este compilată o inegalitate a formei. La rezolvarea acestei inegalități, valorile cunoscute de condiție sunt substituite în ea, rezultând o inegalitate pătratică, care se rezolvă prin metoda intervalelor. Pentru a face acest lucru, zerouri sunt marcate pe linia numerică și un „șarpe” este desenat de la dreapta la stânga și de sus în jos. Intervalele situate deasupra axei numerice, care satisfac semnul mai mare decât sau egal, sunt soluția acestei inegalități. Deoarece timpul nu poate fi o valoare negativă, intervalul de valori până la zero este eliminat. Soluția problemei este limita dreaptă a primului interval de valori de inegalitate.

Soluţie.

oŞi b:

La 4 minute de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1600 K, iar odată cu încălzirea ulterioară se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 4 minute.

Raspuns: 4.

Raspuns: 4

Soluţie.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura va deveni egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valorile date ale parametrilor a și b:

La 4 minute de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1800 K, apoi se va încălzi și se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 4 minute.

Raspuns: 4.

Raspuns: 4

Dependența temperaturii (în grade Kelvin) de timp pentru elementul de încălzire al unui anumit dispozitiv a fost obținută experimental. Pe intervalul studiat, temperatura se calculează folosind formula T(t) = T 0 + bt + la 2, Unde t- timp în minute, T 0 = 1380 K, O= −15 K/min 2, b= 165 K/min. Se știe că dacă temperatura încălzitorului depășește 1800 K, dispozitivul se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Stabiliți cel mai lung timp după începerea lucrului în care trebuie să opriți dispozitivul. Exprimați-vă răspunsul în câteva minute.

Soluţie.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

La 4 minute de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1800 K, iar odată cu încălzirea ulterioară se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 4 minute.

Raspuns: 4.

Raspuns: 4

Pentru elementul de încălzire al unui anumit dispozitiv, s-a obținut experimental dependența temperaturii de timpul de funcționare: unde este timpul în minute Se știe că la o temperatură a elementului de încălzire peste 1650 K, dispozitivul se poate deteriora, deci trebuie oprit. Care este cel mai lung timp după începerea lucrului în care dispozitivul trebuie oprit? Exprimați-vă răspunsul în câteva minute.

Soluţie.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

La 4 minute de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1650 K, iar odată cu încălzirea ulterioară se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 4 minute.

Raspuns: 4.

Raspuns: 4

Pentru elementul de încălzire al unui anumit dispozitiv, s-a obținut experimental dependența temperaturii de timpul de funcționare: unde este timpul în minute Se știe că la o temperatură a elementului de încălzire peste 1600 K, dispozitivul se poate deteriora, deci trebuie oprit. Care este cel mai lung timp după începerea lucrului în care dispozitivul trebuie oprit? Exprimați-vă răspunsul în câteva minute.

Soluţie.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

La 1 minut de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1600 K, iar odată cu încălzirea ulterioară se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 1 minut

Raspuns: 1.

Raspuns: 1

Soluţie.

prototip.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

Raspuns: 2.

Raspuns: 4

Soluţie.

Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototip.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

La 2 minute de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1760 K, iar odată cu încălzirea ulterioară se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 2 minute.

Raspuns: 2.

Soluţie.

Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototip.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

La 2 minute de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1760 K, iar odată cu încălzirea ulterioară se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 2 minute.

Raspuns: 2.

Soluţie.

Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototip.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

La 2 minute de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1760 K, iar odată cu încălzirea ulterioară se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 2 minute.

Raspuns: 2.

Soluţie.

Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototip.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

La 2 minute de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1760 K, iar odată cu încălzirea ulterioară se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 2 minute.

Raspuns: 2.

Soluţie.

Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototip.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

La 2 minute de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1760 K, iar odată cu încălzirea ulterioară se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 2 minute.

Raspuns: 2.

Soluţie.

Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototip.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

La 2 minute de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1760 K, iar odată cu încălzirea ulterioară se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 2 minute.

Raspuns: 2.

Soluţie.

Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototip.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

La 2 minute de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1760 K, iar odată cu încălzirea ulterioară se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 2 minute.

Raspuns: 2.

Soluţie.

Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototip.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

La 2 minute de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1760 K, iar odată cu încălzirea ulterioară se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 2 minute.

Raspuns: 2.

Soluţie.

Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototip.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

La 2 minute de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1760 K, iar odată cu încălzirea ulterioară se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 2 minute.

Raspuns: 2.

Soluţie.

Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototip.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

La 2 minute de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1760 K, iar odată cu încălzirea ulterioară se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 2 minute.

Raspuns: 2.

Soluţie.

Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototip.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b: K/min. Se știe că dacă temperatura încălzitorului depășește 1900 K, dispozitivul se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Stabiliți cel mai lung timp după începerea lucrului în care trebuie să opriți dispozitivul. Exprimați-vă răspunsul în câteva minute.

Soluţie.

Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototip.

Dependența temperaturii (în grade Kelvin) de timp pentru elementul de încălzire al unui anumit dispozitiv a fost obținută experimental și, în intervalul de temperatură studiat, este determinată de expresia , unde este timpul în minute, K, K/min, K /min. Se știe că dacă temperatura încălzitorului depășește 1760 K, dispozitivul se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Stabiliți cel mai lung timp după începerea lucrului în care trebuie să opriți dispozitivul. Exprimați-vă răspunsul în câteva minute.
, Unde t— timpul în minute, K, K/min, K/min. Se știe că dacă temperatura încălzitorului depășește 1600 K, dispozitivul se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Stabiliți cel mai lung timp după începerea lucrului în care trebuie să opriți dispozitivul. Exprimați-vă răspunsul în câteva minute.

Soluţie.

Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototip.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

K/min. Se știe că dacă temperatura încălzitorului depășește 1700 K, dispozitivul se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Stabiliți cel mai lung timp după începerea lucrului în care trebuie să opriți dispozitivul. Exprimați-vă răspunsul în câteva minute.

Soluţie.

Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototip.

Dependența temperaturii (în grade Kelvin) de timp pentru elementul de încălzire al unui anumit dispozitiv a fost obținută experimental și, în intervalul de temperatură studiat, este determinată de expresia , unde este timpul în minute, K, K/min, K /min. Se știe că dacă temperatura încălzitorului depășește 1760 K, dispozitivul se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Stabiliți cel mai lung timp după începerea lucrului în care trebuie să opriți dispozitivul. Exprimați-vă răspunsul în câteva minute.
, Unde t— timpul în minute, K, K/min, K/min. Se știe că dacă temperatura încălzitorului depășește 1550 K, dispozitivul se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Stabiliți cel mai lung timp după începerea lucrului în care trebuie să opriți dispozitivul. Exprimați-vă răspunsul în câteva minute.

Soluţie.

Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototip.

Să aflăm în ce moment după începerea lucrului temperatura devine egală cu K. Problema se reduce la rezolvarea ecuației pentru valori date ale parametrilor oŞi b:

La 2 minute de la pornire, dispozitivul se va încălzi până la 1760 K, iar odată cu încălzirea ulterioară se poate deteriora. Astfel, dispozitivul trebuie oprit după 2 minute.

Studiez biologia și chimia la Five Plus în grupul lui Gulnur Gataulovna. Sunt încântat, profesorul știe să intereseze subiectul și să găsească o abordare față de elev. El explică în mod adecvat esența cerințelor sale și oferă teme realiste (și nu, așa cum fac majoritatea profesorilor în timpul examenului de stat unificat, zece paragrafe acasă și unul la clasă). . Studiem strict pentru Examenul Unificat de Stat și acest lucru este foarte valoros! Gulnur Gataullovna este sincer interesată de subiectele pe care le predă și oferă întotdeauna informațiile necesare, oportune și relevante. Il recomand cu caldura!

Camilla

Mă pregătesc pentru matematică (cu Daniil Leonidovici) și limba rusă (cu Zarema Kurbanovna) la Five Plus. Foarte multumit! Calitatea cursurilor nivel înalt, la școală la această materie sunt acum doar A și B. Am scris examenele de test cu nota 5, sunt sigur că voi promova OGE cu brio. Multumesc!

Airat

Mă pregăteam pentru examenul de stat unificat în istorie și studii sociale cu Vitali Sergheevici. Este un profesor extrem de responsabil în raport cu munca sa. Punctual, politicos, plăcut de vorbit. Este clar că omul trăiește pentru munca lui. Este bine versat în psihologia adolescenților și are o metodă clară de antrenament. Mulțumim „Five Plus” pentru munca ta!

Leysan

Am promovat examenul de stat unificat la rusă cu 92 de puncte, matematică cu 83, studii sociale cu 85, cred că acesta este un rezultat excelent, am intrat la universitate cu buget! Mulțumesc „Five Plus”! Profesorii tăi sunt adevărați profesioniști, cu ei rezultate înalte sunt garantate, mă bucur foarte mult că am apelat la tine!

Dmitri

David Borisovich este un profesor minunat! În grupa lui m-am pregătit pentru Examenul Unificat de Stat la matematică la nivel de specialitate, și am promovat cu 85 de puncte! deși cunoștințele de la începutul anului nu erau foarte bune. David Borisovich își cunoaște subiectul, cunoaște cerințele Examenului de stat unificat, el însuși face parte din comisia de verificare a documentelor de examen. Sunt foarte bucuros că am reușit să intru în grupul lui. Mulțumim lui Five Plus pentru această oportunitate!

Violetta

„A+” este un centru excelent de pregătire a testelor. Aici lucrează profesioniști, o atmosferă confortabilă, personal prietenos. Am studiat engleza și studiile sociale cu Valentina Viktorovna, am promovat ambele materii cu un punctaj bun, mulțumită de rezultat, mulțumesc!

Olesya

La centrul „Cinci cu plus” am studiat simultan două materii: matematică cu Artem Maratovici și literatură cu Elvira Ravilyevna. Mi-au plăcut foarte mult orele, metodologia clară, formă accesibilă, mediu confortabil. Sunt foarte mulțumit de rezultat: matematică - 88 de puncte, literatură - 83! Multumesc! Voi recomanda tuturor centrului tău educațional!

Artem

Când alegeam tutori, am fost atras de centrul Five Plus de profesori buni, un program convenabil al cursurilor, disponibilitatea examenelor de probă gratuite, părinții mei - preturi accesibile pentru calitate superioară. Până la urmă, toată familia noastră a fost foarte mulțumită. Am studiat trei materii deodată: matematică, studii sociale, engleză. Acum sunt student la KFU pe bază de buget și, datorită unei bune pregătiri, am promovat examenul de stat unificat cu scoruri mari. Multumesc!

Dima

Am ales cu mare atenție un tutore de studii sociale am vrut să trec examenul cu punctajul maxim. „A+” m-a ajutat în această chestiune, am studiat în grupul lui Vitali Sergeevich, orele au fost super, totul era clar, totul era clar, în același timp distractiv și relaxat. Vitaly Sergeevich a prezentat materialul în așa fel încât să fie memorabil de la sine. Sunt foarte multumit de pregatire!