Matrici echivalente. Trecerea la o nouă bază

Trecerea la o nouă bază.

Fie (1) și (2) două baze ale aceluiași spațiu liniar m-dimensional X.

Deoarece (1) este o bază, vectorii celei de-a doua baze pot fi extinși în ea:

Din coeficienții de creăm o matrice:

(4) – matricea de transformare a coordonatelor la trecerea de la baza (1) la baza (2).

Fie un vector, apoi (5) și (6).

Relația (7) înseamnă că

Matricea P este nedegenerată, deoarece altfel ar exista o relație liniară între coloanele sale și apoi între vectori.

Reversul este de asemenea adevărat: orice matrice nesingulară este o matrice de transformare a coordonatelor definită prin formulele (8). Deoarece P este o matrice nesingulară, atunci inversul său există. Înmulțind ambele părți ale lui (8) cu, obținem: (9).

Să fie 3 baze alese în spațiul liniar X: (10), (11), (12).

De unde, adică (13).

Că. cu transformarea secvenţială a coordonatelor, matricea transformării rezultate este egală cu produsul matricelor transformărilor componente.

Să fie un operator liniar și să fie aleasă o pereche de baze în X: (I) și (II), și în Y – (III) și (IV).

Operatorului A într-o pereche de baze I – III corespunde egalității: (14). Același operator din perechea de baze II – IV corespunde egalității: (15). Că. Pentru al acestui operatorȘi avem două matrice și. Vrem să stabilim o dependență între ei.

Fie P matricea de transformare a coordonatelor în timpul tranziției de la I la III.

Fie Q matricea de transformare a coordonatelor în timpul tranziției de la II la IV.

Apoi (16), (17). Înlocuind expresiile pentru și de la (16) și (17) în (14), obținem:

Comparând această egalitate cu (15), obținem:

Relația (19) raportează matricea aceluiași operator în baze diferite. În cazul în care spațiile X și Y coincid, rolul bazei III este jucat de I, iar rolul lui IV de către II, atunci relația (19) ia forma: .

Bibliografie:

3. Kostrikin A.I. Introducere în algebră. partea a II-a. Fundamentele algebrei: manual pentru universități, -M. : Literatură de fizică și matematică, 2000, 368 p.

Curs nr. 16 (semestrul II)

Subiect: Condiție necesară și suficientă pentru echivalența matricei.

Se numesc două matrice, A și B, de aceeași dimensiune echivalent, dacă există două matrice non-singulare R și S astfel încât (1).

Exemplu: Două matrice care corespund aceluiași operator pentru diferite alegeri de baze în spațiile liniare X și Y sunt echivalente.

Este clar că relația definită pe mulțimea tuturor matricelor de aceeași dimensiune folosind definiția de mai sus este o relație de echivalență.

Teorema 8: Pentru ca două matrice dreptunghiulare de aceeași dimensiune să fie echivalente, este necesar și suficient ca acestea să fie de același rang.

Dovada:

1. Fie A și B două matrici pentru care are sens. Rangul produsului (matricea C) nu este mai mare decât rangul fiecăruia dintre factori.

Vedem că coloana k a matricei C este o combinație liniară de vectori ai coloanelor matricei A și acest lucru este valabil pentru toate coloanele matricei C, adică. pentru toată lumea. Că. , adică – subspațiul spațiului liniar.

Deoarece și deoarece dimensiunea subspațiului este mai mică sau egală cu dimensiunea spațiului, atunci rangul matricei C este mai mic sau egal cu rangul matricei A.

În egalitățile (2), fixăm indicele i și atribuim k toate valorile posibile de la 1 la s. Apoi obținem un sistem de egalități similar cu sistemul (3):

Din egalităţi (4) este clar că I-a linie matricea C este o combinație liniară a rândurilor matricei B pentru tot i, iar apoi carcasa liniară acoperită de rândurile matricei C este conținută în corpul liniar acoperit de rândurile matricei B și apoi dimensiunea acestei carcase liniare este mai mică sau egală cu dimensiunea carcasei liniare a vectorilor rând ai matricei B, ceea ce înseamnă că rangul matricei C este mai mic sau egal cu rangul matricei B.

2. Rangul produsului matricei A în stânga și în dreapta printr-o matrice pătrată nesingulară Q este egal cu rangul matricei A.(). Aceste. Rangul matricei C este egal cu rangul matricei A.

Dovada: Conform celor dovedite în cazul (1). Deoarece matricea Q este nesingulară, atunci pentru ea există: și în conformitate cu ceea ce sa dovedit în afirmația anterioară.

3. Să demonstrăm că dacă matricele sunt echivalente, atunci ele au aceleași ranguri. Prin definiție, A și B sunt echivalente dacă există R și S astfel încât. Deoarece înmulțirea lui A în stânga cu R și în dreapta cu S produce matrici de același rang, așa cum se dovedește la punctul (2), rangul lui A este egal cu rangul lui B.

4. Fie matricele A și B să fie de același rang. Să demonstrăm că sunt echivalente. Să luăm în considerare.

Fie X și Y două spații liniare în care sunt alese bazele (baza X) și (baza Y). După cum se știe, orice matrice de formă definește un anumit operator liniar care acționează de la X la Y.

Deoarece r este rangul matricei A, atunci dintre vectori exact r sunt liniar independenți. Fără pierderea generalității, putem presupune că primii r vectori sunt liniar independenți. Apoi orice altceva poate fi exprimat liniar prin ele și putem scrie:

Să definim o nouă bază în spațiul X astfel: . (7)

O bază nouăîn spațiul Y, după cum urmează:

Vectorii, după condiție, sunt liniar independenți. Să le completăm cu niște vectori la baza Y: (8). Deci (7) și (8) sunt două baze noi X și Y. Să găsim matricea operatorului A în aceste baze:

Deci, în noua pereche de baze, matricea operatorului A este matricea J. Matricea A a fost inițial o matrice dreptunghiulară arbitrară de forma, rangul r. Deoarece matricele aceluiași operator în baze diferite sunt echivalente, aceasta arată că orice matrice dreptunghiulară de tip și rang r este echivalentă cu J. Deoarece avem de-a face cu o relație de echivalență, aceasta arată că oricare două matrice A și B de tip și rangul r , fiind echivalent cu matricea J sunt echivalente între ele.

Bibliografie:

1. Voevodin V.V. Algebră liniară. Sankt Petersburg: Lan, 2008, 416 p.

2. Beklemishev D.V. Curs de geometrie analitică și algebră liniară. M.: Fizmatlit, 2006, 304 p.

3. Kostrikin A.I. Introducere în algebră. partea a II-a. Fundamentele algebrei: manual pentru universități, -M. : Literatură de fizică și matematică, 2000, 368 p.

Curs nr. 17 (semestrul II)

Subiect: Valori proprii și vectori proprii. Subspații proprii. Exemple.

Conceptele de egalitate și echivalență a matricelor sunt adesea întâlnite.

Definiția 1

Se spune că matricea $A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ este egală cu matricea $B=\left(b_(ij) \right)_(k\times l ) $ dacă dimensiunile lor $(m=k,n=l)$ coincid și elementele corespunzătoare ale matricelor comparate sunt egale între ele.

Pentru matricele de ordinul 2 scrise în formă generală, egalitatea matricelor poate fi scrisă după cum urmează:

Exemplul 1

Matrici date:

1) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( matrice)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(matrice)\right)$;

2) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( matrice)(c) (-3) \\ (2) \end(matrice)\right)$;

3) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( matrice)(cc) (2) și (4) \\ (1) și (3) \end(matrice)\right)$.

Determinați dacă matricele sunt egale.

1) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( matrice)(cc) (2) și (0) \\ (-1) și (3) \end (matrice)\right)$

Matricele A și B au aceeași ordine, egală cu 2$\times $2. Elementele corespunzătoare ale matricelor comparate sunt egale, prin urmare matricele sunt egale.

2) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( matrice)(c) (-3) \\ (2) \end(matrice)\right)$

Matricele A și B au ordine diferite, egale cu 2$\times $2 și, respectiv, 2$\times $1.

3) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( matrice)(cc) (2) și (4) \\ (1) și (3) \end (matrice)\right)$

Matricele A și B au aceeași ordine, egală cu 2$\times $2. Cu toate acestea, nu toate elementele corespunzătoare ale matricelor comparate sunt egale, prin urmare, matricele nu sunt egale.

Definiția 2

O transformare matrice elementară este o transformare care păstrează echivalența matricelor. Cu alte cuvinte, o transformare elementară nu schimbă setul de soluții ale sistemului de ecuații algebrice liniare (SLAE) pe care îl reprezintă această matrice.

Transformările elementare ale rândurilor matricei includ:

• înmulțirea unui rând al unei matrice cu un număr $k$ care nu este egal cu zero (determinantul matricei crește de $k$ ori);
• schimbarea oricăror două rânduri ale unei matrice;
• adăugând elementelor unui rând dintr-o matrice elementele altui rând.

Același lucru este valabil și pentru coloanele matrice și se numește transformări elementare de coloane.

Definiția 3

Dacă trecem de la matricea A folosind o transformare elementară la matricea B, atunci matricea originală și cea rezultată se numesc echivalente. Pentru a indica echivalența matricelor, utilizați semnul „$ \sim$”, de exemplu, $A\sim B$.

Exemplul 2

Având în vedere matricea: $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) și (3) \end(array)\right)$.

Efectuați transformări elementare ale rândurilor matricei unul câte unul.

Să schimbăm primul rând și al doilea rând al matricei A:

Înmulțiți primul rând al matricei B cu numărul 2:

Să adăugăm primul rând cu al doilea rând al matricei:

Definiția 4

O matrice de etape este o matrice care îndeplinește următoarele condiții:

• dacă există un rând zero într-o matrice, toate rândurile de sub acesta sunt, de asemenea, zero;
• Primul element diferit de zero al fiecărei linii diferite de zero trebuie să fie situat strict la dreapta elementului de conducere în linia care se află deasupra acesteia.

Exemplul 3

Matrice $A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(array)\right)$ și $B=\left(\begin(array)(ccc) (1) și (2) și (3) \\ (0) și (2) și (7) \\ (0) & (0) & (0) \end(array)\right)$ sunt matrice eșalon.

Comentariu

Puteți reduce o matrice la formă eșalonată folosind transformări echivalente.

Exemplul 4

Având în vedere matricea: $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) și (3) \end(array)\right)$. Reduceți matricea la o formă în trepte.

Să schimbăm primul și al doilea rând al matricei A:

Să înmulțim primul rând al matricei B cu numărul 2 și să îl adăugăm la al doilea rând:

Să înmulțim primul rând al matricei C cu numărul -1 și să îl adăugăm la al treilea rând:

Să înmulțim al doilea rând al matricei D cu numărul -2 și să îl adăugăm la al treilea rând:

$K=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \end(array)\right)$ este o matrice de tip eșalon.

Scopul nostru imediat este de a demonstra că orice matrice poate fi redusă la niște forme standard folosind transformări elementare. Limbajul matricelor echivalente este util pe această cale.

Lăsați-l să fie. Vom spune că o matrice este l_echivalent (p_echivalent sau echivalent) cu o matrice și notăm (sau) dacă matricea poate fi obținută dintr-o matrice folosind un număr finit de transformări elementare de rând (coloană sau rând și coloană, respectiv). Este clar că matricele l_equivalent și n_equivalent sunt echivalente.

În primul rând, vom arăta că orice matrice poate fi redusă la o formă specială numită redusă doar prin transformări de rând.

Lăsați-l să fie. Se spune că un rând diferit de zero al acestei matrice are forma redusă dacă conține un element egal cu 1, astfel încât toate elementele coloanei, altele decât sunt egale cu zero, . Vom numi elementul unic marcat al liniei elementul de conducere al acestei linii și îl vom închide într-un cerc. Cu alte cuvinte, un rând al unei matrice are forma redusă dacă această matrice conține o coloană a formei

De exemplu, în următoarea matrice

linia are următoarea formă, deoarece. Să acordăm atenție faptului că în acest exemplu un element se pretinde a fi și elementul conducător al liniei. În viitor, dacă o linie de tipul dat conține mai multe elemente care au proprietăți principale, vom selecta doar unul dintre ele în mod arbitrar.

Se spune că o matrice are o formă redusă dacă fiecare dintre rândurile sale diferite de zero are o formă redusă. De exemplu, matrice

are următoarea formă.

Propozitia 1.3 Pentru orice matrice exista o matrice echivalenta de forma redusa.

Într-adevăr, dacă matricea are forma (1.1) și, atunci după efectuarea transformărilor elementare în ea

obținem matricea

în care şirul are următoarea formă.

În al doilea rând, dacă rândul din matrice a fost redus, atunci după efectuarea transformărilor elementare (1.20) rândul matricei va fi redus. Într-adevăr, din moment ce dat, există o coloană astfel încât

dar apoi și, în consecință, după efectuarea transformărilor (1.20) coloana nu se modifică, adică. . Prin urmare, linia are următoarea formă.

Acum este clar că transformând pe rând fiecare rând diferit de zero al matricei în modul de mai sus, după un număr finit de pași vom obține o matrice de formă redusă. Deoarece doar transformări elementare de rând au fost folosite pentru a obține matricea, aceasta este l_echivalent cu o matrice. >

Exemplul 7. Construiți o matrice de formă redusă, l_echivalent cu matricea

Matrici echivalente

După cum sa menționat mai sus, minorul unei matrice de ordinul s este determinantul unei matrici formate din elemente ale matricei originale situate la intersecția oricăror s rânduri și s coloane selectate.

Definiţie. Într-o matrice de ordinul mn, un minor de ordinul r se numește de bază dacă nu este egal cu zero și toate minorele de ordinul r+1 și mai mari sunt egale cu zero sau nu există deloc, adică. r se potrivește cu cel mai mic dintre m sau n.

Coloanele și rândurile matricei pe care se află baza minoră se mai numesc și bază.

O matrice poate avea mai multe minore de bază diferite care au aceeași ordine.

Definiţie. Ordinea bazei minore a unei matrice se numește rangul matricei și se notează cu Rg A.

O proprietate foarte importantă a transformărilor matricei elementare este că nu schimbă rangul matricei.

Definiţie. Matricele obţinute în urma unei transformări elementare se numesc echivalente.

Trebuie remarcat faptul că matricele egale și matricele echivalente sunt concepte complet diferite.

Teorema. Cel mai mare număr de coloane liniar independente dintr-o matrice este egal cu numărul de rânduri liniar independente.

Deoarece transformările elementare nu schimbă rangul matricei, atunci procesul de găsire a rangului matricei poate fi simplificat semnificativ.

Exemplu. Determinați rangul matricei.

2. Exemplu: Determinați rangul matricei.

Dacă, folosind transformări elementare, nu este posibil să se găsească o matrice echivalentă cu cea inițială, dar de o dimensiune mai mică, atunci găsirea rangului matricei ar trebui să înceapă prin calcularea minorilor de ordinul cel mai înalt posibil. În exemplul de mai sus, aceștia sunt minori de ordinul 3. Dacă cel puțin unul dintre ei nu este egal cu zero, atunci rangul matricei este egal cu ordinea acestui minor.

Teorema pe baza minoră.

Teorema. Într-o matrice arbitrară A, fiecare coloană (rând) este o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) în care se află baza minoră.

Astfel, rangul unei matrice arbitrare A este egal cu numărul maxim de rânduri (coloane) liniar independente din matrice.

Dacă A este o matrice pătrată și det A = 0, atunci cel puțin una dintre coloane este o combinație liniară a coloanelor rămase. Același lucru este valabil și pentru șiruri. Această afirmație decurge din proprietatea dependenței liniare atunci când determinantul este egal cu zero.

Rezolvarea sistemelor arbitrare de ecuații liniare

După cum sa menționat mai sus, metoda matricei și metoda lui Cramer sunt aplicabile numai acelor sisteme de ecuații liniare în care numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații. În continuare, luăm în considerare sistemele arbitrare de ecuații liniare.

Definiţie. Un sistem de m ecuații cu n necunoscute în formă generală se scrie după cum urmează:

unde aij sunt coeficienți și bi sunt constante. Soluțiile sistemului sunt n numere care, atunci când sunt substituite în sistem, transformă fiecare dintre ecuațiile sale într-o identitate.

Definiţie. Dacă un sistem are cel puțin o soluție, atunci se numește articulație. Dacă un sistem nu are o singură soluție, atunci se numește inconsecvent.

Definiţie. Un sistem se numește determinat dacă are o singură soluție și nedefinit dacă are mai multe.

Definiţie. Pentru un sistem de ecuații liniare matricea

A = se numește matricea sistemului, iar matricea

A*= se numește matricea extinsă a sistemului

Definiţie. Dacă b1, b2, …,bm = 0, atunci sistemul se numește omogen. un sistem omogen este întotdeauna consistent, deoarece are întotdeauna o soluție zero.

Transformări elementare ale sistemului

Transformările elementare includ:

1) Adunarea la ambele părți ale unei ecuații a părților corespunzătoare ale celeilalte, înmulțite cu același număr, diferit de zero.

2) Rearanjarea ecuațiilor.

3) Eliminarea din sistem a ecuațiilor care sunt identități pentru toți x.

Teorema Kronecker-Kapeli (condiția de consistență pentru sistem).

(Leopold Kronecker (1823-1891) matematician german)

Teorema: Un sistem este consistent (are cel puțin o soluție) dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse.

Evident, sistemul (1) poate fi scris sub forma.